La permutación de Daniel

Entre la veintena escasa de poemas que se conservan del trovador Arnaut Daniel, aquel que comienza Lo ferm voler q'el cor m'intra (el firme querer que me entra en el corazón) (aquí, y aquí, cantado) es uno de los más celebrados de todas las literaturas romances.

Lo ferm voler es la primera sextina que se conoce. Una sextina es una composición poética formada por 39 versos: seis estrofas de seis versos cada una, más una contera final de tres versos. Aquí se puede leer una sextina de Fernando de Herrera, alias el Divino.

Cada verso de la primera estrofa de la sextina acaba en una palabra (de dos sílabas y acentuación llana) diferente. Denotemos estas seis palabras (llamadas palabras rima) por las letras ABCDEF. Pues bien, estas mismas palabras rima se emplean en las restantes estrofas de la sextina para acabar cada verso; pero en cada estrofa el orden en que aparecen es diferente. Así, en la segunda estrofa los versos acaban en la forma FAEBDC; en la tercera, CFDABE; etc.

Las seis permutaciones de las palabras rima que van apareciendo en la sextina no son arbitrarias; toda sextina debe emplear el mismo esquema que aparece en "Lo ferm voler", resultante de ir aplicando sucesivamente la permutación (124536).

(Nota: el conjunto de permutaciones de seis elementos (en nuestro caso, de las seis palabras rima) es llamado por los sabios el grupo simétrico S₆. La forma más cómoda de representar una permutación de los números {1, 2, 3, 4, 5, 6} es la siguiente: empezamos escribiendo en una lista el 1; a continuación, el elemento X a cuyo lugar llevamos el 1; a continuación, el elemento Y a cuyo lugar llevamos X;... y así sucesivamente, hasta que alcancemos de nuevo el 1. Si aún quedan números que no han aparecido, hacemos lo mismo empezando por el primero de ellos. Por ejemplo, si permutamos 1 por 3, 2 por 1, 3 por 2, 4 por 5 y 5 por 4, escribiremos para representarlo (1 3 2) (4 5), lo que podemos leer como "lleva el primer elemento al tercer lugar, el tercer elemento al segundo lugar y el segundo elemento al primer lugar; y lleva el cuarto elemento al quinto lugar y el quinto elemento al cuarto lugar." Así que (124536) significa "lleva el primer elemento al segundo lugar, el segundo al cuarto, el cuarto al quinto, el quinto al tercero, el tercero al sexto y el sexto al primero.")

Arnaut Daniel quería un elemento g de S₆ tal que al ir aplicándolo 0, 1, 2, ..., 5 veces se obtuvieran distintas permutaciones de las palabras rima, hasta llegar de nuevo a obtener ABCDEF en la sexta aplicación (que ya no llega a producirse), y de forma que una palabra rima no apareciese dos veces en la misma posición. Para ello es necesario que g conste de un solo ciclo de longitud 6, g = (1 x y z u v). Ello nos deja 5!=120 posibilidades diferentes.

Pero, además, las estrofas habían de ser capcaudadas, es decir, la última palabra rima de una estrofa es la primera palabra rima de la siguiente estrofa, o sea, g(6)=1. Ello impone que el ciclo sea de la forma (1 x y z u 6), lo cual nos deja 4!=24 posibilidades diferentes.

Entre éstas Arnaut Daniel eligió (124536). ¿Por qué? Es obvio que alguna de las no elegidas hubiera originado cierta pesadez, por ejemplo, (123456). Pero, ¿por qué aquella en concreto? Ana Nuño dice que Martín de Riquer dice que Paolo Canettieri dice que la elección vino dada por la inmoderada afición del trovador al juego de dados (parece ser que el Arnaut era lo que hoy llamaríamos un ludópata, como Góngora, Dostoievskii y tantos otros genios de la literatura.)

Si esta hipótesis es correcta, Arnaut debió de pensar bastante antes de dar con su solución. Por ejemplo, ninguna rotación de un dado puede generar seis configuraciones diferentes (a lo sumo, generará cuatro). Pero el siguiente proceso sí puede haber inspirado a Daniel: al poner un dado sobre una mesa, apoyado sobre la cara del seis, veremos que el uno queda arriba y en los lados, en el sentido de las agujas del reloj, el dos, el cuatro, el cinco y el tres. Si escribimos ahora el seis en la posición del uno, el uno en la posición del dos, y movemos en círculo las restantes etiquetas, obtenemos precisamente la permutación de Daniel.